統計的推定

例7で述べたように，統計的な扱いやすさから， ここでは$S$として指数分布族を仮定しよう． その際，仮定したモデルを含むような十分広いものを選ぶ必要がある． すると，モデルは$S$の部分空間$M$として表現される． これを曲指数分布族という．

一方，指数分布族では情報を落とすことなくデータを 十分統計量に集約できる． 十分統計量は$N$個のサンプル $x_1,\ldots,x_N$ が観測されたとき，$F_i(x)$のサンプル平均 $r_i = \sum_{j=1}^N F_i(x_j)/N$ で計算される． この$r_i$を$\eta_i$座標成分 として，データ点を$S$の点 $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{r}$で表すことができる．

モデル$M$が$S$そのものであれば，座標値そのものが答えなのだから， $\boldsymbol{\eta}$から $\boldsymbol{\theta}$に座標に変換すればモデルパラメータが 求まる． だが，一般の場合は， $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{r}$は$M$の外の点なので， 射影を取らなくてはならない． 統計的推定で用いられる最尤推定は， $m$-射影を取っていることに相当している．$m$-射影は$e$-平坦な 部分空間に対しては非常に単純になる．