2次元d-pモデルに対して波動関数によるエネルギーの期待値を変分モンテカルロ法により計算して安定な状態を調べました。6× 6と8× 8の系において、反強磁性と超伝導状態を基底状態の候補として、秩序状態になったことによるエネルギーの下がりをキャリアーのドープ量の関数として書くと下の図のようになります（図1）([1])。特徴として、ホール濃度が低い領域に反強磁性相があり、その外にd波の超伝導相があることがあげられます。ホール濃度が負の領域は電子ドープであることを示しています。ホールドープと電子ドープとで、相図に非対称性があります。ここでは、酸素のp軌道間の重なり積分tppを0、d電子間のクーロン相互作用をUd/tdp= 8にしていますが、tppを有限にして大きくしていくと、非対称性も小さくなる傾向があります。
また、ドーピング量が小さい時は、s波（異方的）の超伝導状態の方がd波よりも安定な領域があります。ここでは、反強磁性の方がこの二つよりも安定ですが、反強磁性が何らかの理由で安定でなくなると、s波の可能性もあります。これは3バンドモデルに特有のことであり、1バンドのハバードモデルやt-Jモデルにはない相です。薄膜においてノンドープの試料による超伝導が報告されており（[3]）、そこではs波の超伝導も可能性として考える必要があるでしょう。
図1. 6× 6、8× 8 d-pモデルにおける変分モンテカルロ法による相図。
（白抜き記号が8× 8の系に対する結果。）
本当の2次元系においては、有限温度では反強磁性秩序状態は存在しませんが、超伝導相転移はKosterlitz-Thouless転移として存在し得ます。そのため、
薄膜のような2次元系に近い試料では、反強磁性相関は強いにもかかわらず反強磁性秩序は存在せず、反強磁性相関による引力により超伝導状態は存在する可能性が出てきます。
反強磁性と超伝導は共存する可能性があります。共存状態まで含めてエネルギーを計算し、書いた相図が下の図です。系のサイズを16× 16、32× 8まで計算し、サイズについての外挿を行いました。図1と比べるとわかりますように、サイズを大きくすると、超伝導の領域も狭くなります。反強磁性とd波超伝導が共存状態は低ドープ域に存在し、ドープ量を増やすと純粋なd波の状態になります。
図2. 反強磁性と超伝導の共存も考えたd-pモデルの相図。[2]
反強磁性と超伝導は共存しますが、ここでは、一様な反強磁性よりエネルギーが低いincommensurateな反強磁性と超伝導との共存状態を考えました。
反強磁性と超伝導が共存するのだろうかという疑問は当然ありますが、キャリアーをドープされた反強磁性状態は金属的ですのでフェルミ面があり、フェルミ面近くの電子が対を作って超伝導となります。反強磁性的になることによりフェルミ面は小さくなりますので、超伝導の臨界温度Tcも大きなフェルミ面の状態と比べて低くなります。
文献
[1] Gorund state of the three-band Hubbard model
T. Yanagisawa, S. Koike, K. Yamaji: Physical Review B64, 184509 (2001).
[2] Incommensurate antiferromagnetism coexisting with superconductivity in two-dimensional d-p model
T. Yanagisawa, M. Miyazaki, K. Yamaji: Journal of the Physical Society of Japan 78 (2009) 013706.
[3] A. Tsukada, Y. Krochenberger, M. Noda, H. Yamamoto, D. Manske, L. Alff, M. Naito: Solic State Commun. 133 (2005) 427.
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