Type I モデルの EM 法の導出

E ステップにおける関数 $Q$ は

$$Q_{\rm I}(A,\mbox{\boldmath$b$}) = \left\langle\sum_{k=1}^Kq... ...oldmath$x$},k;\ A,\mbox{\boldmath$b$})\right\rangle_{\!\!\rho}$$ (B.1)

で与えられるので，これをまず， $\mbox{\boldmath$b$}= \mbox{\boldmath$b$}\tth$ に固定して $A$ を求める．

$${\partial\over\partial a_i}Q_{\rm I}(A,\mbox{\boldmath$b$}\t... ...rm I}\,k}\tth (\mbox{\boldmath$x$})\right\rangle_{\!\!\rho} =0$$ (B.2)

を整理すると

$${1\over a_i} Z_{\rm I}- a_i X_{{\rm I}\,i}- Y_{{\rm I}\,i}= 0$$ (B.3)

となる．ただし， $X_{{\rm I}\,i}, Y_{{\rm I}\,i}, Z_{\rm I}$ はそれぞれ式 (5.11), (5.12), (5.13) で与えられる．

これは $a_i$ に関する 2 次方程式で，二つの解 が得られるが，そのうち $a_i > 0$ という条件を満たすものは 式 (5.10) の場合に限る．

一方得られた $A\tpth$ を用いて, $\mbox{\boldmath$b$}\tpth$ を求めると，

$${\partial\over\partial b_i} Q_{\rm I}(A\tpth ,\mbox{\boldmath$b$}) = -U_{{\rm I}\,i}+ b_i V_{{\rm I}\,i}= 0$$ (B.4)

から，(5.14) の更新式が得られる．