人工データ

Type I，Type II のそれぞれのモデルに対し，まず最初に単純に単独のモデルを用いて推定がうまく行えるかどうかを調べた．続いて、複数個のモデル(ここでは 2 個の物体モデルとばらまきノイズの計3個のモデル)をあてはめる場合に提案手法がどのように振る舞うかを見るための実験を行った．

単独，複数それぞれの場合について，まず適当なモデルを人工的に作り，そのモデルから 1000 個のランダムサンプルを発生させる．そのサンプルをあてはめの対象データとし，サンプルを発生させたモデルとは異なる位置・尺度(・回転)パラメータをもつモデルを初期解として本論文で述べたアルゴリズムを適用した．

Type I モデルの実験には 3 つの 2 次元楕円型正規分布の混合分布で定義されるモデルを用いた．

図5.1 は Type I モデルを単独で用いた場合の結果である．点で示されているのがあてはめの対象データであり，破線で示されているのが初期解，実線で示されているのが ECM アルゴリズムを 10 ステップ繰り返した結果である．それぞれの楕円はモデルを構成する正規分布の $x^2 / \sigma_x^2 + y^2 / \sigma_y^2 = 2.0^2$ なる確率密度等高線であり，この楕円内の確率測度は約 0.86 である．

図5.2 は 10 ステップまでの平均対数尤度の変化をプロットしたグラフで，破線がサンプルを発生させた分布(真の分布)に関する平均対数尤度である．有限サンプルによるバイアスを除けば，理想的にはアルゴリズムにより破線に近付く程望ましいことになる．

**図 5.1:** Type I モデル(単独)の実験結果
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeI-1.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$

**図 5.2:** Type I モデルの平均対数尤度(単独，点線:真のモデルの尤度)
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeI-2.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$

図5.3 は単独で用いたのと同じモデルを 2 個組み合わせて(位置・尺度パラメータは異なる)モデルを作成し，ECM アルゴリズムを 20 ステップ繰り返した結果である．ノイズに対する影響を見るために，全体に一様分布によりばらまきノイズを加えた．モデルはそのノイズを吸収するための要素分布として，サンプルをすべて含む矩形上の一様分布を加えた．図5.4 は平均対数尤度のプロットである．

**図 5.3:** Type I モデル(複数)の実験結果
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeIm-1.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$

**図 5.4:** Type I モデルの平均対数尤度(複数，点線:真のモデルの尤度)
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeIm-2.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$

Type II モデルの実験には 4 つの 2 次元等方正規分布の混合分布で定義されるモデルを用いた．

図5.5，5.6 はこのモデルを単独であてはめたとき(10ステップ)の結果および平均対数尤度のプロットであり，図 5.7，5.8は複数(2個)の Type II モデルとばらまきノイズに対してあてはめたとき(30 ステップ)の結果および平均対数尤度のプロットである．

Type I モデルよりも Type II モデルの方が収束に時間がかかっており，複数物体の実験では単独であてはめるよりも時間がかかっている．

**図 5.5:** Type II モデル(単独)の実験結果
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeII-1.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$

**図 5.6:** Type II モデルの平均対数尤度(単独，点線:真のモデルの尤度)
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeII-2.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$

**図 5.7:** Type II モデル(複数)の実験結果
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeIIm-1.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$

**図 5.8:** Type II モデルの平均対数尤度(複数，点線:真のモデルの尤度)
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfile{file=ecm/typeIIm-2.eps,height=0.4\textheight} \end{center}\end{figure}$