Type II モデルの場合

Type II モデルでも同様に

を導入すると， $(\mbox{\boldmath$x$},k)$ の同時分布は

$\displaystyle p_{\rm I\!I}(\mbox{\boldmath$x$},k;\ H,\mbox{\boldmath$b$})$	$\textstyle =$	$\displaystyle {(h_1^2+h_2^2)\xi_k \over(2\pi\sigma_k^2)} \exp\Bigl[-{1\over2\sigma_k^2}\Bigl \{(h_1x_1+h_2x_2-\mu_{k,1}+b_1)^2$
		$\displaystyle +(-h_2x_1+h_1x_2-\mu_{k,2}+b_2)^2\Bigr\}\Bigr],$	(5.17)

$\displaystyle q_{{\rm I\!I}\,k}\tth (\mbox{\boldmath$x$})$	$\textstyle =$	$\displaystyle {p_{{\rm I\!I}}(k\mid \mbox{\boldmath$x$};\ H\tth ,\mbox{\boldmath$b$}\tth )}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle {p_{{\rm I\!I}}(\mbox{\boldmath$x$},k;\ H\tth ,\mbox{\boldmath$b$... ...1}^K p_{{\rm I\!I}}(\mbox{\boldmath$x$},k';\ H\tth ,\mbox{\boldmath$b$}\tth )},$	(5.18)

Type II の場合も

と $\mbox{\boldmath$b$}$ を同時に最適化することは困難であるので，まず， $\mbox{\boldmath$b$}= \mbox{\boldmath$b$}\tth$ を固定し， $H\tpth$ を求める．すると，

$\begin{displaymath} h_1\tpth = {Y_{{\rm I\!I}\,1}\left(1+\sqrt{1+\displaystyle {... ... I\!I}\,1}^2+Y_{{\rm I\!I}\,2}^2}}\right) \over2X_{\rm I\!I}}, \end{displaymath}$

(5.19)

$\begin{displaymath} h_2\tpth = {Y_{{\rm I\!I}\,2}\over Y_{{\rm I\!I}\,1}} h_1\tpth , \end{displaymath}$

(5.20)

ここで $X_{\rm I\!I}, Y_{{\rm I\!I}\,1}, Y_{{\rm I\!I}\,2}, Z_{\rm I\!I}$ はそれぞれ，次のように計算される統計量である．

$\begin{displaymath} X_{\rm I\!I}= \left\langle(x_1^2+x_2^2)\sum_{k=1}^K{q_{{\rm ... ...(\mbox{\boldmath$x$})\over\sigma_k^2}\right\rangle_{\!\!\rho}, \end{displaymath}$

(5.21)

$\begin{displaymath} Y_{{\rm I\!I}\,1}= \Bigl\langle \sum_{k=1}^K{q_{{\rm I\!I}\... ... )x_1+ (\mu_{k,2}-b_2\tth )x_2\Bigr\}\Bigr\rangle_{\!\!\rho}, \end{displaymath}$

(5.22)

$\begin{displaymath} Y_{{\rm I\!I}\,2}= \Bigl\langle \sum_{k=1}^K{q_{{\rm I\!I}\... ... )x_2- (\mu_{k,2}-b_2\tth )x_1\Bigr\}\Bigr\rangle_{\!\!\rho}, \end{displaymath}$

(5.23)

$\begin{displaymath} Z_{\rm I\!I}= \left\langle\sum_{k=1}^Kq_{{\rm I\!I}\,k}\tth (\mbox{\boldmath$x$})\right\rangle_{\!\!\rho}. \end{displaymath}$

(5.24)

$\begin{displaymath} b_1\tpth = {U_{{\rm I\!I}\,1}\over V_{\rm I\!I}}, \end{displaymath}$

(5.25)

$\begin{displaymath} b_2\tpth = {U_{{\rm I\!I}\,2}\over V_{\rm I\!I}}. \end{displaymath}$

(5.26)

$\begin{displaymath} U_{{\rm I\!I}\,1}= \Bigl\langle \sum_{k=1}^K{ q_{{\rm I\!I}... ...,1}-(h_1\tpth x_1+h_2\tpth x_2)\Bigr\}\Bigr\rangle_{\!\!\rho}, \end{displaymath}$

(5.27)

$\begin{displaymath} U_{{\rm I\!I}\,2}= \Bigl\langle \sum_{k=1}^K{ q_{{\rm I\!I}... ...,2}-(h_1\tpth x_2-h_2\tpth x_1)\Bigr\}\Bigr\rangle_{\!\!\rho}, \end{displaymath}$

(5.28)

$\begin{displaymath} V_{\rm I\!I}= \left\langle\sum_{k=1}^K{q_{{\rm I\!I}\,k}\tth (\mbox{\boldmath$x$})\over\sigma_k^2}\right\rangle_{\!\!\rho}. \end{displaymath}$

(5.29)