位置・尺度・回転パラメータ

あてはめの対象となるデータは $d$ 次元実空間中の $N$ 個の点集合 $\{\mbox{\boldmath$x$}_{(1)},\ldots,\mbox{\boldmath$x$}_{(N)}\}$ として与えられるとする．モデルは同 じ空間の上の確率分布 $p(\mbox{\boldmath$x$};\ \mbox{\boldmath$\theta$})$ として表現されており，デー タに最もよくあてはまるように位置や尺度のパラメータ $\mbox{\boldmath$\theta$}$ を求 めることが問題である．

以下では，ECM アルゴリズムの閉じた形の更新式を得るために二つのモデルを 考える． 一つは位置と尺度のパラメータだけをもつ場合でありこれを便宜上 Type I モデルと呼ぶことにする．もう一つは $d=2$ に限定した上で，位置と 尺度のほかに回転のパラメータを含めた場合であり，こちらを Type II モデ ルと呼ぶ．

以下ではまず，任意の形の確率分布が与えられたときに，位置や尺度，回転の パラメータがどのように入るかを Type I と Type II それぞれの場合につい て説明し，5.3 で，与えられた確率分布を適切な正規混合モ デルで近似する．