平坦な空間

接続係数は，微小な距離にある接空間の間の「ずれ」を表している． もし，ある座標系 $\boldsymbol{\xi}$を取ったとき，その$\alpha$-接続の 接続係数が全部 0 だったらそのずれも当然 0 である． このような座標系は存在するとは限らないが， もし存在するなら，$\alpha$-(アファイン)座標系といい， その空間は $\alpha$-平坦であるという．

$\alpha$-平坦な空間では，測地線は$\alpha$-座標系での直線として表される （$\alpha$-測地線）． これは感覚的にはユークリッド空間にかなり近いまっすぐな構造を もつ空間である（計量が場所によって違うのでユークリッド空間 とは異なるが）． ほかにも $\alpha$-平坦な空間はいろいろと便利な性質があり，工学的に有用な 多くの応用例では$\alpha$-平坦な空間の場合を考える．

例 4   指数分布族と呼ばれる

$$f(x;\boldsymbol{\theta})=\exp\left(\sum_{i=1}^n \theta^i F_i(x)-\psi(\boldsymbol{\theta}) +C(x)\right)$$ (8)

という形の分布族は $\boldsymbol{\theta}$をアファイン座標系として$1$-平坦である． この分布族は統計の情報幾何において中心的役割を果たすもので， $1$-接続，$1$-平坦などのことを特に$e$-接続，$e$-平坦などと呼ぶ （e:exponential）． なお，正規分布は指数分布族の形をしており，$F_1(x)=x$, $F_2(x)=x^2$ とおくと，その$e$-座標系は $\theta^1=\mu/\sigma^2, \theta^2=-1/(2\sigma^2)$ となる．

例 5   確率分布$F_i(x)$の線形和で定義される混合分布族

$$f(x;\boldsymbol{\theta})=\sum_{i=1}^n \theta^i F_i(x)+ (1-\sum_{i=1}^n\theta^i) F_0(x)$$ (9)

は $\boldsymbol{\theta}$をアファイン座標系として$-1$-平坦である． 従って，$-1$接続，$-1$-平坦のことを特に$m$-接続，$m$-平坦と呼ぶ （m:mixture）．

例 6   より一般的に $\alpha\ne1$をパラメータとして

$$f(x;\boldsymbol{\theta}) \propto (\sum_{i=1}^n \theta^i F_i(x))^{2/(1-\alpha)}$$ (10)

という形の分布族（$\alpha$-分布族）を考える． これは $\alpha \ne -1$を除いて一般に$\alpha$-平坦ではない⁸． このように，一般に確率分布で考えている限りは $\alpha=\pm1$の 場合だけが特別なので，応用上もほとんどが$\pm1$-接続 つまり$e$-接続 か$m$-接続を扱う．