$\alpha$-接続

さて，接続係数はどのように決めたらよいのだろうか． 二つの接ベクトル $d\boldsymbol{\xi}_1, d\boldsymbol{\xi}_2$を平行移動させた とき，通常はその幾何的な関係が変わって欲しくない． 具体的には，平行移動させる前の内積と，平行移動させた後の内積は同じ 値であってほしい． この制約下では，接続係数は計量$g_{ij}$ に依存して一意に決まってしまう⁶． これをリーマン接続（または レビチビタ接続）という⁷． だから，普通の微分幾何では空間の構造は計量だけから決まってしまう．

ところが，後で述べるように統計的な立場からは， むしろ内積を保存しない接続の方が意味をもつ場合がある． といっても何でもいいわけではなく， ある種の統計的不変性を仮定すると，接続係数は次のように自由パラメータ $\alpha$をもつものに限定される． 便宜上接続係数 $\Gamma_{ij}^k$を 計量$g_{ij}$で変換したものを $\Gamma_{ij,k} = \sum_{h}\Gamma_{ij}^h g_{hk}$とおくと，

$$\Gamma_{ij,k}^{(\alpha)} = \mathrm{E}_{\boldsymbol{\xi}}\left[\le... ...ial_j l + \frac{1-\alpha}{2}\partial_i l \partial_j l\right)\partial_k l\right]$$ (7)

となる． これを $\alpha$-接続という．$\alpha=0$の場合がリーマン接続となるが， 情報幾何では次の節で見るようにむしろ $\alpha=\pm1$の場合が特に重要である．