収束性

まず，上で述べた MCMC 法は，適当な条件の下で任意の初期値 $x_0$ から スタートしても必ず目標の極限分布 $p_T(x)$ に収束することが示されている．

任意の初期値からの収束性に関する条件は理論的には少し難しいが， 少なくとも $p_T(x)$ が MCMC の定めるマルコフ連鎖 $P(x_{t+1}\mid x_t)$ に関して定常になることは，詳細つりあい条件 (detailed balance condition) と呼ばれる

$$p_T(x)P(y\mid x)=p_T(y)P(x\mid y)$$ (5)

が任意の $x,y$ について成り立つことから容易に示せる．