Auto-Regressive Hidden Markov Model (AR-HMM)

以下は，厳密な議論を一切省いた、ＡＲＨＭＭについての簡単で直感的な説明です。

１．ARHMM

ＡＲＨＭＭは、図１に示すように、ＨＭＭの出力をＡＲフィルタに通す構成となっています。

図１　ＡＲＨＭＭの例

２．ＡＲＨＭＭとＨＭＭの比較

ＨＭＭは、短時間の定常と見なせる区間を表現する状態を幾つかつなぎ合わせて、観測時系列の時間的な変化を表現するモデルと考えられます。
図２は、赤線で示した観測時系列を６状態のＨＭＭで表現した例です。図中、黒線は、各状態における出力の期待値を表しています。
ＨＭＭは、状態の中で観測時系列の変化を表現できない、また定常区間と定常区間の間で統計量の不連続性が生じるなどの問題点があります。

図２　ＨＭＭによる時系列のモデリング（その１）

図２の例は観測時系列が比較的に単純で緩やかに変化していますが、図３に示すようなより複雑に変化する観測時系列をＨＭＭで表現しようとすると、より多くの状態を必要とするという問題点もあります。

図３　ＨＭＭによる時系列のモデリング（その２）

一方、ＡＲＨＭＭは、観測時系列をＡＲフィルタで逆フィルタリングした時系列をＨＭＭで表現することになります。
観測時系列が一定の相関を持って変化している場合、その相関性をＡＲフィルタで取り除くことで、単純な時系列に変換できる場合があります。
図４は、図３の観測時系列を実際にＡＲＨＭＭで分析して得られたＡＲフィルタで、逆フィルタリングした時系列です。
このようにＡＲＨＭＭは、より少ない状態数で効率的に観測時系列を表現できる可能性があります。
また、ＡＲＨＭＭは、ＨＭＭの出力をＡＲフィルタに通しているので、連続的に変化する統計量で観測時系列を表現していることになります。
図３の観測時系列をＡＲＨＭＭで表現する場合、その期待値の時系列は、図４の不連続な期待値をＡＲフィルタでフィルタリングすることで求められるので、連続的な統計量になります。

図４　ＡＲＨＭＭに基づいた分析により相関性を取り除いた時系列